第一章 引力塌缩
由于爱因斯坦场方程高度复杂，在弯曲时空中存在着丰富的非线性动力学。该领域主要包括引力塌缩、时空奇点、黑洞物理与引力波物理等课题。简单来说，引力塌缩是指由于引力的作用，物质被压缩到极小的体积。想象一下，一个巨大的恒星在燃烧完所有燃料后，内部压强不能继续支撑自身引力，最终在自身引力的作用下发生坍塌，这就是引力塌缩。实际上，各类天体（包括白矮星、中子星和黑洞等）及宇宙大尺度结构都是由物质场发生引力塌缩形成的。引力塌缩也是研究引力理论中一些重要课题很好的平台，包括黑洞物理、时空奇点及各类时空的（不）稳定性等。
第二章 裸奇点
1965 年，Roger Penrose 得到一个重要结果，称为奇点定理。根据这个定理，如果一个物质场满足强能量条件（即密度与压强之和非负），并且时空中存在一个俘获面（光线无法逃脱的界面），那么时空中必然会形成一个奇点。奇点是一个密度和引力无限大的区域，对经典物理理论来说是一个难以处理的问题。然而，引力塌缩形成的奇点是否一定会被视界（即光也无法逃脱的边界）包围呢？为了回答这个问题，Penrose 在 1969 年提出了弱宇宙监督假设。这个假设认为，引力塌缩形成的奇点一定会被视界包围。如果奇点被视界包围，那么它不会影响视界外的物理过程。由于证明或证伪弱宇宙监督假设极为困难，科学家们转而通过大量的引力塌缩案例进行分析。实际上，早在宇宙监督假设提出之前，人们从 1933 年就开始研究引力塌缩。在这些研究中，人们发现，在非均匀分布的尘埃、理想流体以及内行辐射物质的塌缩过程中，都有可能形成裸奇点。例如，Amos Ori 和 Tsvi Piran 在 1987 年发现，如果状态方程足够软，在自相似理想流体塌缩中能形成强裸奇点。Indresh Dwivedi 和 Pankaj S. Joshi 在 1993 年发现，在球对称非均匀尘埃塌缩中也可以形成强裸奇点。
这里需要解释一下，什么是强奇点：如果在趋近某奇点时，一个物体会被完全摧毁，那么这个奇点被称为强奇点。
受标量场塌缩形成的黑洞质量下限是否为零这一问题驱动，Matthew W. Choptuik 在 1992 年通过数值模拟方式，研究了球对称标量场的塌缩过程。当标量场较弱时，它会先向中心塌缩，然后反弹到无穷远，最终留下一个平坦的时空。当标量场较强时，它会塌缩形成黑洞。而临界塌缩则介于这两种情况之间。Choptuik 精密调节标量场的初始值，发现了引力塌缩中的临界现象。在该模型中，中心处会形成一个裸奇点。郭俊起等人在2020年发现该裸奇点也是强奇点。由于 Choptuik 的结果是通过精密调节物质场的初始值得到的，人们对弱宇宙监督假设的表述进行了修改：对于具有一般初始值的物质场，其引力塌缩不会形成裸奇点。
第三章 临界塌缩
Choptuik 临界塌缩的主要结果包括质量标度律、离散自相似与普适性。
（1）质量标度律。我们用参数 表示标量场的初始强度。在上临界点情况，一个质量极小的黑洞可以形成。黑洞的质量 与参数 有如下关系: γ, 其中 是参数 的临界值。数值结果表明质量标度指数 。到目前为止，人们还没有对数值 0.37 给出理论推导。
（2）离散自相似。在中心区域（也称为半径较小区域），标量场会发生振荡，并且该区域会越来越小。当该区域趋于零时，裸奇点形成。将该奇点形成时的坐标时间记为 0，其它演化时刻记为 t。如果将半径较小区域的半径及时间（-t）缩小约 倍，则缩小前与缩小后，半径较小区域内的标量场形状相同。Δ（≈3.44）被称为指数标度周期。（小编注：有没有小伙伴思考下0.37和3.44数值背后藏着什么？）
图1：临界塌缩中离散自相似艺术示意图。当半径较小区域的半径及时间（-t）缩小特定倍数，则缩小前后，半径较小区域内的标量场形状相同，见左图与右图。
Gundlach 在 1995 年把临界塌缩当做本征值问题，把 Δ 当做本征值。他从 Choptuik 得到的初始值出发，在半径较小区域，令爱因斯坦方程组及标量场动力学方程满足一定的边界条件，将数据从时域转换到频域，采用松弛算法，得到了一个更加准确的周期 Δ。
（3）普适性。考虑多个不同形状的标量场。将它们的初始值调节到临界值，经过一段较短的过渡期后，这些不同的标量场产生的时空会趋于同一个解。
第四章 临界塌缩的动力学
解析信息对深刻理解临界塌缩的本质是很重要的。但由于爱因斯坦场方程是高度非线性的，寻找其解析信息充满挑战。在随时间演化的系统中，寻找方程的解析解更是困难重重。实际上，寻找爱因斯坦场方程的解析解早已成为广义相对论领域的一个重要分支。
郭俊起与张宏升在 2019 年根据复杂性科学中一个典型的对数-周期公式，得到了临界塌缩中心区域时空的近似解析解。他们还发现在该区域，时空是近似共形平坦的。在半径较大区域，标量场演化非常缓慢，并趋于余弦形式。Richard H. Price 与 Jorge Pullin在1996年结合Choptuik 的数值结果，得到了在半径较大区域的标量场的部分近似解析解。该解析解与数值结果接近，但不完全吻合。（小编注：很多年前两位学界大牛曾做过这方面的计算，但结果还不甚理想。一方面寻找爱因斯坦场方程的解析解确实很有挑战性，另一方面不惧困难，挑战后面有惊喜，见后文。）
在这篇封面论文中，作者发现 Price 与 Pullin 在给出标量场的近似解析解时，只考虑了相位随时间变化。而数值结果表明：对标量场来说，在该区域，除了相位，振幅也是随时间变化的。考虑到这一因素，作者得到了标量场的新的近似解析解，其与数值结果非常吻合。之后，作者通过标量场的解析解及爱因斯坦场方程，也得到了度规（时空）的解析解。
图2：作者计算爱因斯坦场方程的解析解结果艺术示意图
图3：临界塌缩中半径较大区域标量场解析解与数值结果的比较 [图片来源：Guo et al. CPC 48, 065104 (2024)]
作者还结合数值解，分析了中心区域标量场的演化，并得到如下结果：在球对称标量场引力塌缩中，在该区域，由于边界条件的原因，引力对标量场的影响可近似忽略。这使得标量场的动力学方程简化为平坦时空的形式。这个结果好像与人们的常识不一致：人们一般认为在球对称引力塌缩中，在中心处，引力场很强并且对物质场的演化是很重要的。
图4：临界塌缩中标量场动力学方程中各项的数值结果 [图片来源：Guo et al. CPC 48, 065104 (2024)]
文中，作者对这个“不一致”给了一个清晰的解释。（1）作者发现这个结果与中心处的边界条件密切相关。由于场方程中各项在中心处的正则性要求，度规函数对半径r的一阶导数可忽略。这使得在标量场演化方程中，引力对标量场的影响可被忽略。在此情况下，标量场演化方程简化为平坦时空情况。（2）作者还对“中心处引力场很强”这个常规认识做了说明。一般来说，在引力塌缩中，在中心附近，物质场能量密度很高，时空曲率也很高。而曲率标量与度规函数对半径r的二阶导数及其它项有关。（小编注：我们一般认为中心处的物质场密度高，那中心处的引力场(时空)不太可能是平的。计算结果出乎意料的反常，背后是引力场和引力对物质的影响有着完全不同的数学表达。所以，遇事三思，算一算，常识不一定都对！）
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编辑｜花明